正交变换（傅里叶变换、Z变换）

正交变换（傅里叶变换、Z变换）

​ 信号分解方法多种多样，我们可将信号分解为直流分量+交流分量、偶分量+奇分量、实部分量+虚部分量、脉冲分量、正交分量等多种形式。其中一个较复杂而又有重要意义的分解方法便是将信号分解为正交分量，我们把这个过程称作：信号的正交分解（正交变换）。

​ 将信号正交分解之后，可以用于：

方便处理

便于抽取特性

数据压缩

​

​ 首先有一个问题——什么是正交？

​ 在线性代数中我们了解过，向量的正交指的是a⃗⋅b⃗=0\vec{a}\cdot\vec{b} = 0a

⋅b

=0——两个向量的内积为0，意味着两个向量在对方上的投影为0，即可认为这两个向量互不相关互不影响。显然，向量的正交对应的是正交的离散形式∑i=0nai∗bi=0\sum_{i=0}^n a_i * b_i = 0i=0∑n​ai​∗bi​=0。

​ 然而，从信号的角度，许多信号其实是连续的，由连续的函数所表示，那么我们又该如何定义正交的连续形式呢？由此，我们引入连续函数的概念：如果在区间 (t1,t2t_1, t_2t1​,t2​) 上，函数 f1f_1f1​(t) 和 f2f_2f2​(t) 互不含有对方的分量，则称 f1f_1f1​(t) 与 f2f_2f2​(t) 在(t1,t2t_1, t_2t1​,t2​)上正交。 即： =∫t1t2f1(t)f2(t)dt=0 = \int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt = 0 =∫t1​t2​​f1​(t)f2​(t)dt=0 ​ 并有定理：

任一函数 f (t)在 (t1,t2t_1, t_2t1​,t2​) 上可表示为正交函数集内函数 的线性组合。 f(t)≈∑n=1Ncngn(t) f(t) \approx \sum_{n=1}^Nc_ng_n(t) f(t)≈n=1∑N​cn​gn​(t)

​

​ 同时，用于正交变换的方法也多种多样：

傅里叶变换 Fourier Transform

离散余弦变换 Discrete Cosine Transform

沃尔希-哈德玛变换 Walsh-Hadamard Transform

斜变换 Slant Transform

哈尔变换 Haar Transform

离散小波变换 Discrete Wavelet Transform

离散K-L变换 Discrete Karhunen-Leave Transform

奇异值分解SVD变换 Singular-Value Decomposition

Z变换

​ 本次学习心得中，我将主要介绍自主学习了解的傅里叶变换及其衍生Z变换这两种正交变换方法。

傅里叶变换

对傅里叶变换的理解

​ 法国数学家让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示： f(t)=a02+∑n=1∞[ancos⁡(nw0t)+bnsin⁡(nw0t)] f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(nw_0t) + b_n\sin(nw_0t)] f(t)=2a0​​+n=1∑∞​[an​cos(nw0​t)+bn​sin(nw0​t)]

​ 可以将*f(x)*理解为由如下正交基表示成的向量： {

1,cos⁡(2πnTx),sin⁡(2πnTx)} \{1,\cos(\frac{2\pi n}{T}x),\sin(\frac{2\pi n}{T}x)\} {

1,cos(T2πn​x),sin(T2πn​x)} ​ 那么上面的式子就可以解读为：

​ 令wn=2πnTw_n = \frac{2\pi n}{T}wn​=